4.1 kondensatorer og kapacitans-Introduktion til elektricitet, magnetisme og kredsløb

cylindrisk kondensator

en cylindrisk kondensator består af to koncentriske, ledende cylindre (figur 4.1.6). Den indre cylinder med radius kan enten være en skal eller være helt solid. Den ydre cylinder er en skal med indre radius . Vi antager, at længden af hver cylinder er og at de overskydende ladninger og ligger på henholdsvis de indre og ydre cylindre.

(figur 4.1.6) $\begin{Saml*}.\end{Saml*}$

figur viser to koncentriske cylindre. Den indre, med radius R1, har positive tegn på den. Den ydre med radius R2 har negative tegn på den. Pile markeret E vises udstrålende fra den indre til den ydre. En tredje cylinder med radius r vises som en stiplet linje mellem de to. Dette er mærket Gaussisk overflade. — figur 4.1.6 en cylindrisk kondensator består af to koncentriske, ledende cylindre. Her er ladningen på den ydre overflade af den indre cylinder positiv (angivet med ), og ladningen på den indre overflade af den ydre cylinder er negativ (angivet med ).

med kanteffekter ignoreret styres det elektriske felt mellem lederne radialt udad fra cylindrenes fælles akse. Ved hjælp af den gaussiske overflade vist i figur 4.1.6 har vi

derfor er det elektriske felt mellem cylindrene

$\begin{equation*}\vec{\mathbf{E}}=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r\,l}\hat{\mathrm{r}}.\end{ligning*}$

Her \hat{\mathrm{r}} er enhedens radialvektor langs cylinderens radius. Vi kan erstatte ligning 4.1.2 og finde den potentielle forskel mellem cylindrene:

$\begin{eqnarray*}V=\int_{R_1}^{R_2}\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{l}}_p=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{r}\hat{\mathbf{r}}\cdot(\hat{\mathbf{r}}dr)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r}\hat{\mathbf{r}}\\=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\ln r|_{R_1}^{R_2}=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\ln\frac{R_2}{R_1}\end{eqnarray*}$

Thus, the capacitance of a cylindrical capacitor is

$\begin{equation*}C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon_0\,l}{\ln(R_2/R_1)}\end{equation*}$

Som i andre tilfælde afhænger denne kapacitans kun af lederens arrangement. En vigtig anvendelse af ligning 4.1.6 er bestemmelsen af kapacitansen pr.enhedslængde af et koaksialkabel, som almindeligvis anvendes til at transmittere tidsvarierende elektriske signaler. Et koaksialkabel består af to koncentriske, cylindriske ledere adskilt af et isolerende materiale. (Her antager vi et vakuum mellem lederne, men fysikken er kvalitativt næsten den samme, når rummet mellem lederne er fyldt med et dielektrisk.) Denne konfiguration afskærmer det elektriske signal, der formerer sig ned ad den indre leder, fra omstrejfende elektriske felter uden for kablet. Strøm strømmer i modsatte retninger i de indre og de ydre ledere, med den ydre leder normalt jordet. Nu, fra ligning 4.1.6, kapacitansen pr.enhedslængde af koaksialkablet er givet af

i praktiske anvendelser er det vigtigt at vælge specifikke værdier af . Dette kan opnås med passende valg af radier af lederne og af det isolerende materiale mellem dem.

Når en cylindrisk kondensator får en ladning på $0,500~\mathrm{nC}$ , måles en potentiel forskel på $20,0~\mathrm{V}$ mellem cylindrene. (a) Hvad er kapacitansen af dette system? (b) hvis cylindrene er $1.0~\mathrm{m}$ lang, hvad er forholdet mellem deres radier?

flere typer praktiske kondensatorer er vist i figur 4.1.3. Almindelige kondensatorer er ofte lavet af to små stykker metalfolie adskilt af to små isoleringsstykker (se figur 4.1.1(b)). Metalfolien og isoleringen er indkapslet i en beskyttende belægning, og to metalledninger bruges til at forbinde folierne til et eksternt kredsløb. Nogle almindelige isoleringsmaterialer er glimmer, keramik, papir og Teflon-ikke-klæbende belægning.

en anden populær type kondensator er en elektrolytisk kondensator. Den består af et iltet metal i en ledende pasta. Den største fordel ved en elektrolytkondensator er dens høje kapacitans i forhold til andre almindelige typer kondensatorer. For eksempel kan kapacitans af en type aluminium elektrolytisk kondensator være så høj som $1,0~\mathrm{F}$ . Du skal dog være forsigtig, når du bruger en elektrolytkondensator i et kredsløb, fordi den kun fungerer korrekt, når metalfolien har et højere potentiale end den ledende pasta. Når omvendt polarisering opstår, ødelægger elektrolytisk virkning oksidfilmen. Denne type kondensator kan ikke tilsluttes på tværs af en vekselstrømskilde, fordi halvdelen af tiden ville vekselstrøm have den forkerte polaritet, da en vekselstrøm vender sin polaritet (se vekselstrømskredsløb på vekselstrømskredsløb).

en variabel luftkondensator (figur 4.1.7) har to sæt parallelle plader. Et sæt plader er fastgjort (angivet som “stator”), og det andet sæt plader er fastgjort til en aksel, der kan drejes (angivet som “rotor”). Ved at dreje akslen kan tværsnitsarealet i overlapningen af pladerne ændres; derfor kan kapacitansen af dette system indstilles til en ønsket værdi. Kondensator tuning har applikationer i enhver form for radiotransmission og modtagelse af radiosignaler fra elektroniske enheder. Hver gang du indstiller din bilradio til din yndlingsstation, skal du tænke på kapacitans.

(figur 4.1.7) $\begynd{Saml*}.\end{Saml*}$

et fotografi af en enhed med diskrete komponenter vises. En komponent er den variable luftkondensator. Den har to dele, en stator og en rotor. Statoren har parallelle plader af metal og er fastgjort til enheden. Rotoren har parallelle plader af metal fastgjort til en aksel. Statoren og rotoren er arrangeret på en sådan måde, at deres plader skiftevis stables. — figur 4.1.7 i en variabel luftkondensator kan kapacitansen indstilles ved at ændre pladernes effektive areal. (kredit: ændring af arbejde af Robbie Sproule)

symbolerne vist i figur 4.1.8 er kredsløbsrepræsentationer af forskellige typer kondensatorer. Vi bruger generelt symbolet vist i figur 4.1.8(a). Symbolet i figur 4.1.8 (c) repræsenterer en variabel kapacitans kondensator. Bemærk ligheden mellem disse symboler og symmetrien af en parallelpladekondensator. En elektrolytisk kondensator er repræsenteret af symbolet i del figur 4.1.8 (b), hvor den buede plade angiver den negative terminal.

(figur 4.1.8) $\begin{Saml*}.\end{Saml*}$

Figur A viser to lodrette linjer. Figur b viser en lodret linje til venstre og en anden, let buet lodret linje til højre. Figur c viser to lodrette linjer og en pil, der skærer tværs over dem diagonalt. I alle figurer er hver linje forbundet med en vandret linje på ydersiden. — figur 4.1.8 dette viser tre forskellige kredsløb repræsentationer af kondensatorer. Symbolet i (a) er det mest anvendte. Symbolet i (b) repræsenterer en elektrolytisk kondensator. Symbolet i (c) repræsenterer en variabel kapacitans kondensator.

et interessant anvendt eksempel på en kondensatormodel kommer fra cellebiologi og beskæftiger sig med det elektriske potentiale i plasmamembranen i en levende celle (figur 4.1.9). Cellemembraner adskiller celler fra deres omgivelser, men tillader nogle udvalgte ioner at passere ind eller ud af cellen. Den potentielle forskel på tværs af en membran handler om $70~\mathrm{mV}$ . Cellemembranen kan være til $10~\mathrm{nm}$ tyk. Behandling af cellemembranen som en kondensator i nanostørrelse giver estimatet af den mindste elektriske feltstyrke på tværs af dens ‘plader’ værdien $E=\frac{V}{d}=\frac{70\times10^{-3}~\mathrm{V}}{10\times10^{-9}~\mathrm{m}}=7\times10^6~\mathrm{V/m}3~\mathrm{MV/m}$ .

denne størrelse af elektrisk felt er stor nok til at skabe en elektrisk gnist i luften.

(figur 4.1.9) $\begin{Saml*}.\end{Saml*}$

figuren viser en cellemembran med negative tegn på den indre grænse og positive tegn på den ydre grænse. Chloridioner er uden for cellen. Diffusion bevæger dem mod cellen, mens Coulomb-kraft vises pegende udad. Nogle chloridioner er vist passerer gennem membranen til indersiden. Kaliumioner vises inde i cellen. Diffusion bevæger dem ud mod membranen, mens Coulomb-kraft vises pegende indad. Nogle kaliumioner er vist passerer membranen til ydersiden. Natriumioner er uden for cellen. Både Coulomb kraft og diffusion er vist peger mod cellen. Nogle natriumioner vises i cellen. — figur 4.1.9 den semipermeable membran i en biologisk celle har forskellige koncentrationer af ioner på dens indre overflade end på dens ydre. Diffusion flytter $\mathrm{K}^+$ (kalium) og $\mathrm{Cl}^-$ (chlorid) ioner i de viste retninger, indtil Coulomb-kraften stopper yderligere overførsel. På denne måde får membranets ydre en positiv ladning, og dens indvendige overflade får en negativ ladning, hvilket skaber en potentiel forskel på tværs af membranen. Membranen er normalt uigennemtrængelig for $\mathrm{Na}^+$ (natriumioner).

besøg PhET-Udforskningerne: Kondensatorlaboratorium for at undersøge, hvordan en kondensator fungerer. Ændre størrelsen af pladerne og tilføje en dielektrisk at se effekten på kapacitans. Skift spænding og se afgifter bygget op på pladerne. Overhold det elektriske felt i kondensatoren. Mål spændingen og det elektriske felt.