4.1 Condensadores y Capacitancia – Introducción a la Electricidad, el Magnetismo y los Circuitos

Condensador cilíndrico

Un condensador cilíndrico consiste en dos cilindros conductores concéntricos (Figura 4.1.6). El cilindro interior, de radio , puede ser una carcasa o ser completamente sólido. El cilindro exterior es una carcasa de radio interior . Asumimos que la longitud de cada cilindro es y que los cargos en exceso y residen en los cilindros interior y exterior, respectivamente.

(Figura 4.1.6) $\begin{gather*}.\end{se reúnen*}$

Figura muestra dos cilindros concéntricos. El interior, con radio R1, tiene signos positivos. El exterior, con radio R2, tiene signos negativos. Las flechas marcadas con E se muestran irradiando de la interior a la exterior. Un tercer cilindro, con radio r, se muestra como una línea de puntos entre los dos. Esta superficie está etiquetada como gaussiana.figura 4.1.6 Un condensador cilíndrico consiste en dos cilindros conductores concéntricos. Aquí, la carga de la superficie exterior del cilindro interior es positivo (indicado por

) y la carga en la superficie interior del cilindro exterior es negativo (indicado por).

Con efectos de borde se ignora, el campo eléctrico entre los conductores se dirige radialmente hacia afuera desde el eje común de los cilindros. Usando la superficie gaussiana que se muestra en la Figura 4.1.6, tenemos

Por lo tanto, el campo eléctrico entre los cilindros es

$\begin{equation*}\vec{\mathbf{E}}=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r\,l}\hat{\mathrm{r}}.\end{ecuación*}$

Aquí \hat {\mathrm {r}} es el vector radial unitario a lo largo del radio del cilindro. Podemos sustituir en la Ecuación 4.1.2 y encontrar la diferencia de potencial entre los cilindros:

$\begin{eqnarray*}V=\int_{R_1}^{R_2}\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{l}}_p=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{r}\hat{\mathbf{r}}\cdot(\hat{\mathbf{r}}dr)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r}\hat{\mathbf{r}}\\=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\ln r|_{R_1}^{R_2}=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\ln\frac{R_2}{R_1}\end{eqnarray*}$

Thus, the capacitance of a cylindrical capacitor is

$\begin{equation*}C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon_0\,l}{\ln(R_2/R_1)}\end{equation*}$

Como en otros casos, esta capacidad sólo depende de la geometría del conductor de acuerdo. Una aplicación importante de la ecuación 4.1.6 es la determinación de la capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial, que se usa comúnmente para transmitir señales eléctricas que varían en el tiempo. Un cable coaxial consta de dos conductores cilíndricos concéntricos separados por un material aislante. (Aquí, asumimos un vacío entre los conductores, pero la física es cualitativamente casi la misma cuando el espacio entre los conductores se llena con un dieléctrico.) Esta configuración protege la señal eléctrica que se propaga por el conductor interno de los campos eléctricos extraños externos al cable. La corriente fluye en direcciones opuestas en los conductores internos y externos, con el conductor externo generalmente conectado a tierra. Ahora, de la Ecuación 4.1.6, la capacitancia por unidad de longitud del cable coaxial está dada por

En las aplicaciones prácticas, es importante seleccionar valores específicos de . Esto se puede lograr con opciones apropiadas de radios de los conductores y del material aislante entre ellos.

Cuando un condensador cilíndrico se le da un cargo de $0.500~\mathrm{nC}$ , una diferencia de potencial de $20.0~\mathrm{V}$ se mide entre los cilindros. a) ¿Cuál es la capacitancia de este sistema? b) Si los cilindros tienen una longitud $1,0~\mathrm{m}$ , ¿cuál es la proporción de sus radios?

Varios tipos de prácticas condensadores se muestra en la Figura 4.1.3. Los condensadores comunes a menudo están hechos de dos pequeñas piezas de lámina metálica separadas por dos pequeñas piezas de aislamiento [véase la Figura 4.1.1 b)]. La lámina metálica y el aislamiento están envueltos en un revestimiento protector, y se utilizan dos cables metálicos para conectar las láminas a un circuito externo. Algunos materiales aislantes comunes son mica, cerámica, papel y revestimiento antiadherente de Teflon™.

Otro tipo popular de condensador es un condensador electrolítico. Consiste en un metal oxidado en una pasta conductora. La principal ventaja de un condensador electrolítico es su alta capacitancia en relación con otros tipos comunes de condensadores. Por ejemplo, la capacitancia de un tipo de condensador electrolítico de aluminio puede ser tan alta como $1.0~\mathrm{F}$ . Sin embargo, debe tener cuidado al usar un condensador electrolítico en un circuito, porque solo funciona correctamente cuando la lámina metálica tiene un potencial más alto que la pasta conductora. Cuando se produce polarización inversa, la acción electrolítica destruye la película de óxido. Este tipo de condensador no se puede conectar a través de una fuente de corriente alterna, porque la mitad de las veces, el voltaje de ca tendría la polaridad incorrecta, ya que una corriente alterna invierte su polaridad (consulte Circuitos de corriente alterna en circuitos de corriente alterna).

Un condensador de aire variable (Figura 4.1.7) tiene dos juegos de placas paralelas. Un juego de placas es fijo (indicado como «estator»), y el otro juego de placas está unido a un eje que se puede girar (indicado como»rotor»). Al girar el eje, se puede cambiar el área de la sección transversal en la superposición de las placas; por lo tanto, la capacitancia de este sistema se puede ajustar a un valor deseado. La sintonización de condensadores tiene aplicaciones en cualquier tipo de transmisión de radio y en la recepción de señales de radio de dispositivos electrónicos. Cada vez que sintonice la radio de su automóvil con su estación favorita, piense en la capacitancia.

(Figura 4.1.7) $\begin{gather*}.\end{gather*}$

Se muestra una fotografía de un dispositivo con componentes discretos. Un componente es el condensador de aire variable. Tiene dos partes, un estator y un rotor. El estator tiene placas paralelas de metal y se fija al dispositivo. El rotor tiene placas paralelas de metal unidas a un eje. El estator y el rotor están dispuestos de manera que sus placas se apilan alternativamente. — Figura 4.1.7 En un condensador de aire variable, la capacitancia se puede ajustar cambiando el área efectiva de las placas. (crédito: modificación del trabajo de Robbie Sproule)

Los símbolos que se muestran en la Figura 4.1.8 son representaciones de circuitos de varios tipos de condensadores. Por lo general, utilizamos el símbolo que se muestra en la Figura 4.1.8(a). El símbolo de la figura 4.1.8 c) representa un condensador de capacitancia variable. Observe la similitud de estos símbolos con la simetría de un condensador de placa paralela. Un condensador electrolítico está representado por el símbolo de la figura 4.1.8 b), donde la placa curva indica el terminal negativo.

(Figura 4.1.8) $\begin{gather*}.\end{se reúnen*}$

la Figura a muestra dos líneas verticales. La Figura b muestra una línea vertical a la izquierda y otra, ligeramente curvada, a la derecha. La Figura c muestra dos líneas verticales y una flecha que las atraviesa en diagonal. En todas las figuras, cada línea está conectada a una línea horizontal en el exterior. — Figura 4.1.8 Esta muestra tres representaciones de circuitos diferentes de condensadores. El símbolo en (a) es el más utilizado. El símbolo en (b) representa un condensador electrolítico. El símbolo en (c) representa un condensador de capacitancia variable.

Un interesante ejemplo aplicado de un modelo de condensador proviene de la biología celular y se ocupa del potencial eléctrico en la membrana plasmática de una célula viva (Figura 4.1.9). Las membranas celulares separan a las células de su entorno, pero permiten que algunos iones seleccionados entren o salgan de la célula. La diferencia de potencial a través de una membrana es de aproximadamente $70~\mathrm{mV}$ . La membrana celular puede ser a $10~\mathrm{nm}$ de espesor. Al tratar la membrana celular como un condensador de tamaño nano, la estimación de la intensidad de campo eléctrico más pequeña a través de sus «placas» produce el valor $E=\frac{V}{d}=\frac{70\times10^{-3}~\mathrm{V}}{10\times10^{-9}~\mathrm{m}}=7\times10^6~\mathrm{V/m}3~\mathrm{MV/m}$ .

Esta magnitud de campo eléctrico es lo suficientemente grande como para crear una chispa eléctrica en el aire.

(Figura 4.1.9) $\begin{gather*}.\end{se reúnen*}$

La figura muestra una membrana celular con signos negativos en el límite interior y signos positivos en el límite exterior. Los iones cloruro están fuera de la célula. La difusión los mueve hacia la célula mientras que la fuerza de Coulomb se muestra apuntando hacia el exterior. Se muestran algunos iones de cloruro que pasan a través de la membrana hacia el interior. Los iones de potasio se muestran dentro de la célula. La difusión los mueve hacia la membrana mientras que la fuerza de Coulomb se muestra apuntando hacia adentro. Se muestran algunos iones de potasio que pasan la membrana hacia el exterior. Los iones de sodio están fuera de la célula. Tanto la fuerza de Coulomb como la difusión se muestran apuntando hacia la célula. Algunos iones de sodio se muestran dentro de la célula. — Figura 4.1.9 La membrana semipermeable de una célula biológica tiene diferentes concentraciones de iones en su superficie interior que en su exterior. La difusión mueve los iones $\mathrm{K}^+$ (potasio) y $\mathrm{Cl}^-$ (cloruro) en las direcciones mostradas, hasta que la fuerza de Coulomb detiene la transferencia. De esta manera, el exterior de la membrana adquiere una carga positiva y su superficie interior adquiere una carga negativa, creando una diferencia de potencial a través de la membrana. La membrana es normalmente impermeable a $\mathrm {Na}^ +$ (iones de sodio).

Visite el PhET Exploraciones: Condensador de Laboratorio para explorar cómo un condensador funciona. Cambie el tamaño de las placas y agregue un dieléctrico para ver el efecto en la capacitancia. Cambie el voltaje y vea las cargas acumuladas en las placas. Observe el campo eléctrico en el condensador. Mida el voltaje y el campo eléctrico.