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Hypothèse de Riemann: Michael Atiyah Prétend Avoir Résolu l’un des Plus grands mystères des mathématiques

Photo d’un tableau noir. L’hypothèse de Riemann est un mystère mathématique d’un million de dollars. iStock
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Au cours des derniers jours, le monde des mathématiques a appris que Sir Michael Atiyah, le célèbre médaillé Fields et lauréat du Prix Abel, prétend avoir résolu l’hypothèse de Riemann.

Si sa preuve s’avère correcte, ce serait l’une des réalisations mathématiques les plus importantes depuis de nombreuses années. En fait, ce serait l’un des résultats les plus importants en mathématiques, comparable à la preuve du Dernier Théorème de Fermat de 1994 et à la preuve de la Conjecture de Poincaré de 2002.

En plus d’être l’un des grands problèmes non résolus en mathématiques et donc la gloire de la personne qui le résout, l’hypothèse de Riemann est l’un des « Problèmes à un million de dollars » de l’Institut de mathématiques Clay. »Une solution rapporterait certainement un transport assez rentable: 1 million de dollars.

L’hypothèse de Riemann a à voir avec la distribution des nombres premiers, ces entiers qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et un, comme 3, 5, 7, 11 et ainsi de suite. Nous savons des Grecs qu’il existe un nombre infini de nombres premiers. Ce que nous ne savons pas, c’est comment ils sont distribués dans les entiers.

Le problème provient de l’estimation de la fonction dite « pi premier », une équation permettant de trouver le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Mais sa reformulation moderne, par le mathématicien allemand Bernhard Riemann en 1858, a à voir avec l’emplacement des zéros de ce qui est maintenant connu sous le nom de fonction zêta de Riemann.

L’énoncé technique de l’hypothèse de Riemann est « les zéros de la fonction zêta de Riemann qui se trouvent dans la bande critique doivent se trouver sur la ligne critique. »Même comprendre cette affirmation implique des cours de mathématiques de niveau supérieur en analyse complexe.

Sir Michael Atiyah prétend avoir résolu l’hypothèse de Riemann.KNUT FALCH /AFP / Getty Images

La plupart des mathématiciens pensent que l’hypothèse de Riemann est en effet vraie. Jusqu’à présent, les calculs n’ont donné aucun zéros de mauvaise conduite qui ne se trouvent pas dans la ligne critique. Cependant, il y a une infinité de ces zéros à vérifier, et donc un calcul informatique ne vérifiera pas tout cela. Seule une preuve abstraite fera l’affaire.

Si, en fait, l’hypothèse de Riemann n’était pas vraie, alors la pensée actuelle des mathématiciens sur la distribution des nombres premiers serait loin, et nous aurions besoin de repenser sérieusement les nombres premiers.

L’hypothèse de Riemann a été examinée pendant plus d’un siècle et demi par certains des plus grands noms des mathématiques et n’est pas le genre de problème avec lequel un étudiant en mathématiques inexpérimenté peut jouer pendant son temps libre. Les tentatives de vérification impliquent de nombreux outils très profonds issus d’analyses complexes et sont généralement des outils très sérieux réalisés par certains des meilleurs noms des mathématiques.

Atiyah a donné une conférence en Allemagne le 25 septembre dans laquelle il a présenté un aperçu de son approche pour vérifier l’hypothèse de Riemann. Cette esquisse est souvent la première annonce de la solution, mais il ne faut pas considérer que le problème a été résolu — loin de là. Pour les mathématiciens comme moi, la « preuve est dans le pudding », et de nombreuses étapes doivent être franchies avant que la communauté ne prononce la solution d’Atiyah comme correcte. Il devra d’abord faire circuler un manuscrit détaillant sa solution. Ensuite, il y a la tâche laborieuse de vérifier sa preuve. Cela pourrait prendre beaucoup de temps, peut-être des mois, voire des années.

La tentative d’Atiyah sur l’hypothèse de Riemann est-elle sérieuse? Peut-être. Sa réputation est excellente, et il est certainement assez capable de le réussir. D’un autre côté, il y a eu plusieurs autres tentatives sérieuses sur ce problème qui n’ont pas échoué. À un moment donné, Atiyah devra faire circuler un manuscrit que les experts peuvent vérifier avec un peigne à dents fines.

William Ross est professeur de mathématiques à l’Université de Richmond

Cet article est republié de The Conversation sous licence Creative Commons. Lisez l’article original.

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