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Introduzione all’elettricità, magnetismo e circuiti

Condensatore cilindrico

Un condensatore cilindrico è costituito da due cilindri concentrici conduttori (Figura 4.1.6). Il cilindro interno, di raggio R_1, può essere un guscio o essere completamente solido. Il cilindro esterno è un guscio di raggio interno R_2. Supponiamo che la lunghezza di ciascun cilindro sial e che le spese in eccesso+Q e-Q risiedano rispettivamente sui cilindri interno ed esterno.

(Figura 4.1.6) \begin{gather*}.\ end {gather*}

La figura mostra due cilindri concentrici. Quello interno, con raggio R1 ha segni positivi su di esso. Quello esterno, con raggio R2 ha segni negativi su di esso. Le frecce contrassegnate E sono mostrate irradiando da quella interna a quella esterna. Un terzo cilindro, con raggio r, è mostrato come una linea tratteggiata tra i due. Questo è etichettato superficie gaussiana.
Figura 4.1.6 Un condensatore cilindrico è costituito da due cilindri concentrici conduttori. Qui, la carica sulla superficie esterna del cilindro interno è positiva (indicata da +) e la carica sulla superficie interna del cilindro esterno è negativa (indicata da -).

Con effetti di bordo ignorati, il campo elettrico tra i conduttori è diretto radialmente verso l’esterno dall’asse comune dei cilindri. Utilizza la Gaussiana superficie mostrato in Figura 4.1.6, abbiamo

\

Pertanto, il campo elettrico tra i cilindri è

\begin{equation*}\vec{\mathbf{E}}=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r\,l}\hat{\mathrm{r}}.\ end {equation*}

Qui \hat{\mathrm{r}} è il vettore radiale unitario lungo il raggio del cilindro. Possiamo sostituire nell’equazione 4.1.2 e trovare la differenza di potenziale tra i cilindri:

\begin{eqnarray*}V=\int_{R_1}^{R_2}\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{l}}_p=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{r}\hat{\mathbf{r}}\cdot(\hat{\mathbf{r}}dr)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r}\hat{\mathbf{r}}\\=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\ln r|_{R_1}^{R_2}=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,l}\ln\frac{R_2}{R_1}\end{eqnarray*}

Thus, the capacitance of a cylindrical capacitor is

\begin{equation*}C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon_0\,l}{\ln(R_2/R_1)}\end{equation*}

Come in altri casi, questa capacità dipende solo dalla geometria del conduttore disposizione. Un’importante applicazione dell’equazione 4.1.6 è la determinazione della capacità per unità di lunghezza di un cavo coassiale, che è comunemente usato per trasmettere segnali elettrici variabili nel tempo. Un cavo coassiale è costituito da due conduttori cilindrici concentrici separati da un materiale isolante. (Qui, assumiamo un vuoto tra i conduttori, ma la fisica è qualitativamente quasi la stessa quando lo spazio tra i conduttori è riempito da un dielettrico.) Questa configurazione protegge il segnale elettrico che si propaga lungo il conduttore interno da campi elettrici esterni al cavo. La corrente scorre in direzioni opposte nei conduttori interni ed esterni, con il conduttore esterno solitamente messo a terra. Ora, dall’equazione 4.1.6, la capacità per unità di lunghezza del cavo coassiale è data da

\

In applicazioni pratiche, è importante selezionare valori specifici diC/l. Questo può essere realizzato con opportune scelte di raggi dei conduttori e del materiale isolante tra di loro.

Quando un condensatore cilindrico riceve una carica di 0.500~\mathrm{nC}, una differenza di potenziale di 20.0~\mathrm{V} viene misurata tra i cilindri. (a) Qual è la capacità di questo sistema? (b) Se i cilindri sono 1.0~\mathrm{m} lungo, qual è il rapporto tra i loro raggi?

Diversi tipi di condensatori pratici sono mostrati in Figura 4.1.3. I condensatori comuni sono spesso costituiti da due piccoli pezzi di lamina metallica separati da due piccoli pezzi di isolamento (vedi Figura 4.1.1 (b)). La lamina metallica e l’isolamento sono racchiusi in un rivestimento protettivo e due cavi metallici sono utilizzati per collegare le pellicole a un circuito esterno. Alcuni materiali isolanti comuni sono mica, ceramica, carta e rivestimento antiaderente Teflon™.

Un altro tipo popolare di condensatore è un condensatore elettrolitico. Consiste di un metallo ossidato in una pasta conduttiva. Il vantaggio principale di un condensatore elettrolitico è la sua elevata capacità rispetto ad altri tipi comuni di condensatori. Ad esempio, capacità di un tipo di condensatore elettrolitico di alluminio può essere alto come 1.0~\mathrm{F}. Tuttavia, è necessario fare attenzione quando si utilizza un condensatore elettrolitico in un circuito, perché funziona correttamente solo quando la lamina metallica è ad un potenziale superiore rispetto alla pasta conduttore. Quando si verifica una polarizzazione inversa, l’azione elettrolitica distrugge il film di ossido. Questo tipo di condensatore non può essere collegato attraverso una sorgente di corrente alternata, perché la metà del tempo, tensione ac avrebbe la polarità sbagliata, come una corrente alternata inverte la sua polarità (vedi Circuts corrente alternata su circuiti a corrente alternata).

Un condensatore ad aria variabile (Figura 4.1.7) ha due serie di piastre parallele. Un set di piastre è fisso (indicato come “statore”) e l’altro set di piastre è collegato a un albero che può essere ruotato (indicato come “rotore”). Ruotando l’albero, è possibile modificare l’area della sezione trasversale nella sovrapposizione delle piastre; pertanto, la capacità di questo sistema può essere sintonizzata su un valore desiderato. La sintonizzazione del condensatore ha applicazioni in qualsiasi tipo di trasmissione radio e nella ricezione di segnali radio da dispositivi elettronici. Ogni volta che sintonizzate la vostra autoradio alla vostra stazione preferita, pensate alla capacità.

(Figura 4.1.7) \begin{gather*}.\ end {gather*}

Viene mostrata una fotografia di un dispositivo con componenti discreti. Un componente è il condensatore d'aria variabile. Ha due parti, uno statore e un rotore. Lo statore ha piastre parallele di metallo ed è fissato al dispositivo. Il rotore ha piastre parallele di metallo attaccate ad un albero. Lo statore e il rotore sono disposti in modo che le loro piastre siano alternativamente impilate.
Figura 4.1.7 In un condensatore ad aria variabile, la capacità può essere sintonizzata cambiando l’area effettiva delle piastre. (credit: modification of work by Robbie Sproule)

I simboli mostrati in Figura 4.1.8 sono rappresentazioni circuitali di vari tipi di condensatori. Generalmente usiamo il simbolo mostrato nella Figura 4.1.8 (a). Il simbolo in Figura 4.1.8 (c) rappresenta un condensatore a capacità variabile. Si noti la somiglianza di questi simboli con la simmetria di un condensatore a piastre parallele. Un condensatore elettrolitico è rappresentato dal simbolo nella parte Figura 4.1.8 (b), dove la piastra curva indica il terminale negativo.

(Figura 4.1.8) \begin{gather*}.\ end {gather*}

La figura a mostra due linee verticali. La figura b mostra una linea verticale a sinistra e un'altra linea verticale leggermente curva a destra. La figura c mostra due linee verticali e una freccia che le attraversa in diagonale. In tutte le figure, ogni linea è collegata a una linea orizzontale all'esterno.
Figura 4.1.8 Questo mostra tre diverse rappresentazioni circuitali dei condensatori. Il simbolo in (a) è quello più comunemente usato. Il simbolo in (b) rappresenta un condensatore elettrolitico. Il simbolo in (c) rappresenta un condensatore a capacità variabile.

Un interessante esempio applicato di un modello di condensatore viene dalla biologia cellulare e si occupa del potenziale elettrico nella membrana plasmatica di una cellula vivente (Figura 4.1.9). Le membrane cellulari separano le cellule dall’ambiente circostante, ma consentono ad alcuni ioni selezionati di passare dentro o fuori dalla cellula. La differenza di potenziale attraverso una membrana è di circa70~\mathrm{mv}. La membrana cellulare può essere7 a10~\mathrm{nm} spessore. Il trattamento della membrana cellulare come un nano-dimensioni, condensatore, la stima del più piccolo intensità del campo elettrico attraverso i suoi “piatti” produce il valore E=\frac{V}{d}=\frac{70\times10^{-3}~\mathrm{V}}{10\times10^{-9}~\mathrm{m}}=7\times10^6~\mathrm{V/m}3~\mathrm{MV/m}.

Questa grandezza del campo elettrico è abbastanza grande da creare una scintilla elettrica nell’aria.

(Figura 4.1.9) \begin{gather*}.\ end {gather*}

La figura mostra una membrana cellulare con segni negativi sul confine interno e segni positivi sul confine esterno. Gli ioni cloruro sono al di fuori della cellula. La diffusione li sposta verso la cella mentre la forza di Coulomb è mostrata rivolta verso l'esterno. Alcuni ioni cloruro sono mostrati passando attraverso la membrana verso l'interno. Gli ioni di potassio sono mostrati all'interno della cellula. La diffusione li sposta verso la membrana mentre la forza di Coulomb è mostrata rivolta verso l'interno. Alcuni ioni di potassio sono mostrati passando la membrana verso l'esterno. Gli ioni di sodio sono al di fuori della cellula. Sia la forza di Coulomb che la diffusione sono mostrate puntando verso la cella. Alcuni ioni di sodio sono mostrati all'interno della cellula.
Figura 4.1.9 La membrana semipermeabile di una cellula biologica ha diverse concentrazioni di ioni sulla sua superficie interna rispetto al suo esterno. La diffusione sposta gli ioni\mathrm{K}^+ (potassio) e\mathrm{Cl}^- (cloruro) nelle direzioni mostrate, fino a quando la forza di Coulomb arresta ulteriormente il trasferimento. In questo modo, l’esterno della membrana acquisisce una carica positiva e la sua superficie interna acquisisce una carica negativa, creando una differenza di potenziale attraverso la membrana. La membrana è normalmente impermeabile a \ mathrm {Na}^+ (ioni sodio).

Visita il PhET Explorations: Capacitor Lab per esplorare come funziona un condensatore. Modificare la dimensione delle piastre e aggiungere un dielettrico per vedere l’effetto sulla capacità. Cambiare la tensione e vedere le cariche accumulate sulle piastre. Osservare il campo elettrico nel condensatore. Misurare la tensione e il campo elettrico.

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